Gödelov dôkaz Božej existencie „po lopate“

Rakúsko-americký matematik a logik svetového formátu Kurt Gödel (1906 – 1978) okrem iného vo svojej pozostalosti zanechal – Kantovým slovníkom vyjadrené – ONTOLOGICKÝ DÔKAZ BOŽEJ EXISTENCIE, kde sa usiloval formalizovať predchádzajúce ontologické dôkazy sv. Anzelma, prípadne Descarta a vyhnúť sa pritom Leibnizovým a Kantovým kritikám. Je to skutočne pozoruhodné dielo majstra logiky a dobrého priateľa Einsteina. Keďže však je toto dielo písané ťažkým jazykom „modálnej logiky druhého rádu“ (a teda aj pomocou tzv. logických formúl), tak je mnohým z nás neprístupné, najmä ak neštudujeme logiku, filozofiu, matematiku a podobne. A to je dôvod, prečo som sa rozhodol Vám, christneťáckym čitateľom, predstaviť tento dôkaz takpovediac „po lopate“ – aby aj tí z Vás, ktorí logiku, matematiku alebo filozofiu neštudujete, ste mohli nahliadnuť do geniality tohto majstrovského „ontologického“, axiomaticko-deduktívneho dôkazu. Pokúsim sa teda byť čo najzrozumiteľnejší a logické formuly (čiže logické formalizované vyjadrenia resp. „skratky“) zobrazovať len pre zaujímavosť a prednosť dám slovnému výkladu. Dúfam, že Vás následne Gödel nadchne a povzbudí Vášho intelektuálneho ducha. :-)

Prosím zároveň, že keď zhliadnete celý článok, aby Vás tie logické formuly a skratky neodradili – naozaj všetko je dostatočne vyložené slovne, takže aj bez pochopenia formúl Gödelov dôkaz takmer naisto pochopíte. ;-) Ospravedlňujem sa za neobyčajne veľkú dĺžku článku, ale ak mám všetko vysvetliť „po lopate“, tak to musí ísť na úkor stručnosti.

----
AXIÓMA ČÍSLO 1 znie: P [┐α]↔ ┐P [α]

Axióma je tvrdenie, ktoré je samo sebou zrejmé a netreba ho preto nijak dokazovať. Je to akési východisko, z ktorého potom pri deduktívnom rozvažovaní vyvodzujeme ďalšie tvrdenia resp. vety. Za prvé východisko (za prvú axiómu), ktoré by malo byť samo sebou zrejmé, si Gödel vybral tamtú, vyššie zobrazenú formulu. Čo ona znamená po slovensky? Ak vynechám vysvetľovanie toho, čo znamenajú tie jednotlivé písmenká a značky, tak to „po lopate“ znamená, že ak je negácia (popretie resp. opak) vlastnosti „alfa“ (nazvime si tú vlastnosť gréckym písmenom „alfa“ α) dobrou vlastnosťou, tak „normálna (nenegovaná) alfa“ dobrou vlastnosťou nie je. A zase naopak – ak „normálna alfa“ je dobrou vlastnosťou, tak potom jej opak (negácia) dobrou vlastnosťou byť nemôže. Je to vlastne jednoduché, však? Malo by byť, lebo axiómami smú byť len tvrdenia sami sebou zrejmé. A táto je prostá. Vyjadruje len myšlienku, že vlastnosť „alfa“ je dobrou, a vtedy jej opak dobrou vlastnosťou nie je... Alebo naopak, vlastnosť „alfa“ nie je dobrou vlastnosťou, a vtedy jej opak (negácia) dobrou vlastnosťou je. Nemôže však nastať situácia, že by vlastnosť „alfa“ bola aj ona samotná, aj jej opak, naraz dobrými vlastnosťami. To hovorí aj zdravý rozum a hovorí to aj majster Gödel vo svojej prvej axióme.
----
DRUHÁ AXIÓMA

Gödel pokračuje predstavením druhej axiómy. Je ňou formula (P [α] ˄ □ (∀ x)(α[x]) → β[x])) → P [β]

Teraz krátke vysvetlenie tej logickej formuly a pod obrázkom „polopatistické“ vysvetlenie toho, čo Gödel vlastne tvrdí.

Ak platí, že „alfa“ je dobrou vlastnosťou, a súčasne ak platí, že je nevyhnutné, aby pre všetky súcna „x“ platilo, že ak majú nejakú vlastnosť „beta“, ktorá vyplýva z toho, že to isté súcno „x“ má vlastnosť „alfa“, tak potom platí, že vlastnosť „beta“ musí byť tiež dobrou vlastnosťou, akou je aj vlastnosť „alfa“.

Čiže jednoducho povedané – ak nejaké súcno (nejaké jestvujúcno, entita) „x“ má vlastnosť„alfa“, ktorá je dobrá, a zároveň z takéhoto súcna vyplýva, že to isté súcno „x“ má inú, ďalšiu vlastnosť („beta“), a platí toto pre všetky takéto súcna „x“, tak potom je vlastnosť „beta“ tiež dobrá. Alebo ešte jednoduchšie: Vlastnosť, ktorá je nutným dôsledkom dobrej vlastnosti, je tiež dobrá. Je to zrozumiteľné? Malo by byť, je to síce trošku náročnejšia axióma, ale jej samozrejmosť si je možné po krátkom premýšľaní dobre uchopiť.
----
VETA Č. 1

Doteraz sme si predstavovali len axiómy. Poďme teraz niečo konečne aj tvrdiť – niečo nesamozrejmého. V logike to voláme „tvrdenie“ alebo ešte lepšie „veta“. Takže veta číslo jedna znie: P [α] → ◊ (∃x) α[x]

Táto veta už nie je sama sebou zrejmá – treba ju dokázať. A Gödel to dobre vedel, tak šikovne podal jej dôkaz. Čo hovorí táto veta? Hovorí jednoducho to, že ak je „alfa“ dobrou vlastnosťou, tak tu je možnosť, že jestvuje také súcno „x“, ktoré by túto dobrú vlastnosť „alfa“ malo. Alebo ešte stručnejšie: Ak „alfa“ je dobrá vlastnosť, tak súcno s touto vlastnosťou je možné. Istotne tu cítite, že nejde o samozrejmé tvrdenie, takže sa hneď vrhnime na jeho dôkaz, aby sme sa presvedčili, či naozaj táto veta platí.

Predpokladajme, že to tvrdenie neplatí – že platí jeho opak, jeho negácia: P [α] ˄ ┐◊ (∃x) α[x]. To znamená po slovensky, že vlastnosť „alfa“ je dobrá a súčasne platí, že nie je možné, aby existovalo také súcno „x“, ktoré by takúto vlastnosť „alfa“ malo. Takže veru, je to naozaj opak toho Gödelovho tvrdenia, všakže? Čo nám však z takejto situácie vyplýva? Vyplýva nám z toho to, že je zaiste nevyhnutné, že pre všetky súcna „x“ platí, že vlastnosť „alfa“ nemajú. Prečo? No lebo sme si povedali, že tú vlastnosť „alfa“ nemôžu mať – že to nie je možné... A tým pádom platí formula □ (∀x)(α[x] → ┐α[x]). Hneď vysvetlím prečo.

Vzniklo nám tu totiž protirečenie. A vôbec nie len v rovine tej, že „x“ má v tej istej chvíli vlastnosť „alfa“ a zároveň ju aj nemá. Protirečenie je o dosť ďalekosiahlejšie. V druhej axióme sme si povedali, že vlastnosť, ktorá je nutným dôsledkom dobrej vlastnosti, musí byť tiež dobrá. A my sme si povedali na obrázku, ak „x“ má vlastnosť „alfa“, ktorá je dobrá, tak z nej vyplýva jej vlastná negácia – čiže že nie je dobrá. A to je závažné protirečenie, ktoré sa dá odstrániť len a len tým, že vetu číslo jedna, ktorú Gödel tvrdí, prijmeme za fakt. Lebo ak ju spochybníme... ak pripustíme jej opak, tak nám vyjdu kontradikcie a hlúposti. Veta číslo jedna teda musí byť pravdivá. Takže musíme uveriť, že ak je „alfa“ dobrou vlastnosťou, tak súcno s touto vlastnosťou je možné.

Teraz sa nám táto veta č. 1 vlastne bude hodiť ako akási „axióma“... ako akési východisko pre ďalšie premisy v argumentácii.
----
DEFINÍCIA BOŽSKÉHO SÚCNA

No, je čas prejsť k Bohu. Pôdu pre jeho obhajobu už máme pripravenú, takže sa vrhnime na definovanie Boha v kontexte predošlých dvoch axióm a jednej vety. Gödel na definovanie Boha zvolil takúto formulu: G[x] ↔ (∀x)(P[α] → α[x]).

Obrázok jasne demonštruje jednoduchú definíciu, že súcno „x“ je vtedy božské (ang. „God-like“), ak má toto „x“ všetky dobré vlastnosti. Všetky dobré vlastnosti mu patria a ani jedna mu nechýba. Takže nemá ani zlé vlastnosti, lebo by mu už chýbala dobrá vlastnosť dokonalosti, takže by sme protirečili predstavenej definícii božskej vlastnosti „G“.
----
TRETIA AXIÓMA

Poďme teraz na tretiu axiómu. Tá je úplne prostá – byť božským súcnom, čiže mať všetky dobré vlastnosti, je určite dobrou vlastnosťou takéhoto súcna. Logickou formulou by sme túto axiómu zobrazili takto: P [G], kde „P“ je „dobrý“ a „G“ (God) je božstvo resp. božské súcno. Myslím, že s touto axiómou nebude nikto z nás mať žiadne problémy. Tak pokračujme ďalej.
----
DÔSLEDOK

Máme tu jeden závažný dôsledok, ktorý nám bezprostredne vyplýva z tretej axiómy a vety číslo jedna. Ak platí veta č. 1 o tom, že ak „alfa“ je dobrou vlastnosťou, tak súcno s touto vlastnosťou je možné, a zároveň platí tretia axióma, že mať božskú vlastnosť je dobrou vlastnosťou, tak nám z toho nevyhnutne vyplýva, že súcno s božskou vlastnosťou (ktorá je dobrou vlastnosťou) je možné:
◊ (∃x) G[x]

Tá formula doslova hovorí, že „je možné, že existuje aspoň jedno také „x“, ktoré by malo božskú vlastnosť“, a teda je možné, že Boh jestvuje.

Tento dôsledok je prenikavo, ba až priam prozreteľne dôležitý a myslím, že ak zvážime pospolu vetu číslo 1 a tretiu axiómu, tak ten dôsledok vyplynie sám veľmi ľahko a každému. Teraz si predstavme ďalšiu axiómu, z ktorej Gödel vychádza, teda štvrtú axiómu.
----
ŠTVRTÁ AXIÓMA

Štvrtá axióma znie: P [α] → □ P [α].

Zdá sa, že s touto axiómou nebude žiadny problém. Dokonca sa môže zdať, že je nám nanič, pretože je tak zrejmá, že sa ukazuje byť až prebytočná. Ale skôr než vytiahneme Occamovu britvu, vyčkajme, lebo predsa len túto axiómu nižšie uplatníme. :-)
----
DEFINÍCIA PODSTATY (DEFINÍCIA ESENCIE)

Teraz Gödel predstavuje svoju definíciu podstaty nejakého súcna – volajme ju pracovným názvom „esencia“ so skratkou „Ess“. Definícia esencie následne znie takto: α Ess x ↔ α[x] ˄ (∀β)(β[x] → □ (∀y)(α[y] → β[y]))

Táto definícia sa zdá byť pre laika dosť náročná – aspoň mne to dalo teda dosť zabrať, kým som pochopil, čo chce Gödel vlastne povedať. Trošku si musíme potrápiť šedé bunky. Logická formula hovorí, že musia byť splnené dva predpoklady, aby vlastnosť „alfa“ bola esenciálnou vlastnosťou súcna „x“ – resp. aby vlastnosť „alfa“ bola esenciou (podstatou) súcna „x“. Prvý predpoklad je jednoduchý – súcno „x“ túto vlastnosť „alfa“ predovšetkým musí vôbec mať. Musí ju mať, musí mu prislúchať. To je jasné. Druhý predpoklad je však komplikovanejší. Hovorí, že každá iná vlastnosť súcna „x“ (dajme tomu „beta“) musí nevyhnutne vyplývať z vlastnosti „alfa“. Každá vlastnosť súcna „x“ je nevyhnutným dôsledkom vlastnosti „alfa“, ak túto „alfu“ chceme volať esenciou súcna „x“. Nerobte si starosti, ak Vám takéto vyjadrenie nevyplýva z tej logickej formuly – čo nás po formulách, hlavné je, že rozumieme verbálnemu výkladu. To je pre náš cieľ najdôležitejšie. :-)
----
VETA Č. 2

Teraz Gödel zase ide niečo tvrdiť, čo nie je axiómou a ani z ničoho nevyplýva. Takže predstavujeme vetu – vetu číslo dva. Tá znie: G[x] → G Ess x. Po slovensky to znamená, že podstatou božského súcna je práve jeho božskosť. To však treba, ako každú „vetu“ či tvrdenie, dokázať. Tak poďme na dôkaz vety číslo 2.

Nech platí, že súcno „x“ má božskú vlastnosť (G[x]) a vlastnosť „beta“ (β) je taká, že súcno „x“ ju má (β[x]). Môže to platiť? Jasné, že môže, lebo to nie je veta, to je len návrh, aby božské súcno malo nejakú, pre nás neznámu vlastnosť „beta“. Keby následne platilo, že táto vlastnosť „beta“ nie je dobrá, tak z prvej axiómy nám plynie, že je dobrou vlastnosťou jej opak, teda negácia „bety“ (P [┐β]). Však? Ale pri zadefinovaní božského súcna sme si povedali predsa, že božské súcno „x“ má všetky vlastnosti dobré. Takže ak je dobrá negácia „bety“, tak potom „beta“ ako taká dobrá nie je, a teda podľa definície božského súcna túto „betu“ božské súcno mať nemôže. Ale to sa predsa vylučuje s naším prvotným návrhom, že božské súcno „x“ „betu“ má! Takže potom nevyhnutne vlastnosť „beta“ musí byť dobrá. Povedané ešte zrozumiteľnejšie: Keďže božské súcno má len dobré vlastnosti a všetky dobré vlastnosti, tak ak má vlastnosť „beta“, tak aj táto vlastnosť „beta“ musí byť dobrá. ;-)

Definícia božského súcna nám povedala, že božské súcno má všetky dobré vlastnosti. Takže ak nám vyplynulo, že „beta“ je dobrou vlastnosťou, nevyhnutne túto „betu“ božské súcno má. To je jasné. A teraz konečne využijeme tú axiómu číslo 4, ktorá sa nám na prvý pohľad zdala prebytočná. Ak si spomínate, hovorila, že ak je vlastnosť dobrá, tak je dobrou nevyhnutne. Takže v jej duchu môžeme povedať, že ak vlastnosť „beta“ je nevyhnutne dobrá, tak potom nevyhnutne božské súcno túto „betu“ má. V tom nie je žiaden problém. Ale čo nám z takéhoto tvrdenia vyplýva? Vyplýva nám z toho tvrdenie, že pre všetky božské súcna nevyhnutne platí, že ak majú vlastnosť božskosti, tak majú nevyhnutne aj dobrú vlastnosť „beta“. Dobre si všimnite, že som vlastne zopakoval to isté vyjadrenie, len akurát som vynechal slová „ak je beta nevyhnutne dobrá“. Vynechal som ich preto, lebo tam už nemusia byť, lebo to, že je „beta“ nevyhnutne dobrá, vyplýva jasne z axiómy číslo 4.

A tým sme dokázali vetu číslo 2. „Ako? Nejak som si to nevšimol,“ by mohol niekto povedať. Spozornite zrak na slovách, že všetky súcna, ktoré majú vlastnosť božskosti, majú nutne aj vlastnosť „beta“. Platí to nutne. A aká je definícia esencie resp. podstaty, ktorú sme si predstavili vyššie? No predsa takáto: Ak má byť „alfa“ esenciou súcna, tak to súcno tú „alfu“ musí jednak mať, a jednak musia z tejto „alfy“ vyplýva všetky ostatné vlastnosti tohto súcna. A tu sme zrazu zbadali, že pre všetky súcna, ktoré majú vlastnosť božskosti, vyplýva nutne vlastnosť „beta“. Takže ak to platí pre všetky takéto súcna a ak to platí nevyhnutne, tak potom z božskosti vyplývajú všetky ostatné vlastnosti božského súcna (resp. vlastnosti, ktoré tuná reprezentuje písmeno „beta“ β). Božskosť teda podľa definície esencie je esenciou božského súcna. Veta číslo 2 (Podstatou, esenciou božského súcna je práve jeho božskosť.) je platná a dokázaná. :-)
----
DEFINÍCIA ČÍSLO 3

Teraz majster Gödel predstavuje tretiu definíciu, a síce definíciu nevyhnutnej existencie z vlastnej podstaty resp. esencie („necessary existence“ so skratkou NE). Hneď vysvetlím, o čo ide.

Definícia č. 3 vyjadrená kalkulom znie: NE[x] ↔ (∀α)(α Ess x → □ (∃y)(α[y]))

Skúsme teraz „po lopate“. Nejaké súcno „x“ nevyhnutne existuje zo svojej vlastnej podstaty – to znamená, že ak je nejaká vlastnosť (dajme tomu „alfa“) esenciou resp. podstatou súcna „x“, tak potom toto súcno „x“ nevyhnutne existuje. To nie je „veta“ alebo tvrdenie, ktoré by sa muselo dokazovať, je to definícia. Takto Gödel definuje tú myšlienku, že niečo existuje na základe svojej vlastnej podstaty. A to by malo byť vlastne jasné, lebo definícia len hovorí, že práve existencia podstaty podmieňuje existenciu súcna, ktorého je ona podstatou. Existencia podstaty je „spúšťačom“ existencie samotného súcna.
----
PIATA AXIÓMA

Piata a posledná axióma, ktorá je sama sebou zrejmá, je prosté tvrdenie, že nevyhnutná existencia z vlastnej podstaty je určite dobrá vlastnosť. (P [NE]). Keď nejaké súcno nevyhnutne existuje už len na základe existencie svojej vlastnej podstaty, tak je to určite dobré, než keby neexistovalo nevyhnutne. Myslím, že nebudeme mať žiadne námietky. Poďme teda ďalej – na vetu číslo 3.
----
VETA Č. 3

A máme tu poslednú vetu – tvrdenie, ktoré priamo predchádza záveru, že Boh nevyhnutne jestvuje. Je to veta, ktorá znie: Nevyhnutná existencia Boha (božského súcna „x“) je možná, čiže ◊ □ (∃x)G[x]. Toto tvrdenie však nie je samo sebou zrejmé a nie je ani predpokladom resp. definíciou. Je to naozaj len takpovediac „veta“, takže ju treba dokázať. Poďme teda na dôkaz vety č. 3.

Povedali sme si v piatej axióme, že NE (nevyhnutná existencia z vlastnej podstaty) je dobrou vlastnosťou. A v definícii božstva sme si povedali, že Boh má všetky dobré vlastnosti. Z toho vyplýva, že Boh má aj NE. Podľa vety č. 2 božskosť je podstatou božskej esencie. Takže ak existuje božské súcno, tak jeho podstatou je božskosť. Ak existuje božské súcno, tak má NE. To sú dva fakty, ktoré vieme o prípadnom božskom súcne – že má NE a že jeho podstatou je jeho božskosť.

Ak si spomínate, definícia číslo 3 nám povedala, že nejaké „x“ existuje nevyhnutne zo svojej podstaty – čiže ak vlastnosť „alfa“ je jeho podstatou, tak nevyhnutne existuje aspoň jedno také súcno (dajme tomu „y“), ktoré by takúto „alfu“ za svoju podstatu malo. Takže ak božské „x“ má nevyhnutnú existenciu zo svojej podstaty a jeho podstatou je práve jeho božskosť, tak podľa definície č. 3 musí nevyhnutne existovať aspoň jedno také súcno, ktoré by túto božskosť malo. Zdá sa, akoby sme tuná mohli už v argumentácii skončiť a myslieť si, že sme dokázali Boha – žiaľ, nie je tomu tak. Musíme v argumentácii pokračovať, lebo sme ešte na vratkej pôde.

Teraz sme v tom, že platí: (NE[x] ˄ G Ess x) → □ (∃y)G[y]. Po slovensky: Ak platia súčasne dva fakty, a síce že „x“ má NE a zároveň „x“ má za podstatu svoju božskosť, tak potom z toho vyplýva, že nevyhnutne existuje aspoň jedno také súcno, ktoré by božskosť naozaj aj malo. Je to len opätovné zopakovanie dôsledku definície číslo 3 z predchádzajúceho odstavca. A teraz príde bingo! Nie, ešte nie očakávaný záver, že Boh nevyhnutne jestvuje, ale príde dôkaz, že nevyhnutnosť Božej existencie je možná, t. j. vety číslo 3. Celý trik spočíva v tom, že dôsledky jednej a tej istej príčiny, kde tieto dôsledky stoja v rade tak, že jeden z druhého vyplýva, možno zameniť za príčinu. Rozumiete? Ak platí, že ak „x“, tak NE,... a ak „x“, tak božskosť je esenciou, tak môžeme nahradiť obidva fakty (NE aj božskosť že je esenciou) za jednu a tú istú príčinu:

G[x] → NE[x] .................. Ak „x“ je božské, tak má vlastnosť NE.

G[x] → G Ess x ................. Ak „x“ je božské, tak jeho esenciou je božskosť.

Tá istá príčina dvoch rôznych dôsledkov. Takže fakty NE[x] a (G Ess x) môžeme zameniť za príčinu G[x].

Skúsme viac po lopate. Povedzme, že platia tieto implikácie:

„Ak hodím pohár o zem, tak sa rozbije.“

„Ak hodím pohár o zem, tak sa zašpiní.“

Tá istá príčina, ale dva rôzne dôsledky – a obidva platia zároveň! A teraz povedzme:

„Ak sa pohár rozbije a zašpiní, tak dostanem od mamy zaucho.“ Už cítite, k čomu smerujem? Chcem povedať to, že dôsledky v jednej rade (voláme to „kauzálne vzťahy“) sa môžu pokojne zameniť za príčinu. Čiže môžem povedať jednoducho toto:

„Ak hodím pohár o zem, tak dostanem od mamy zaucho.“ Sedliacky rozum potvrdzuje možnosť takejto obmeny resp. vynechania tzv. „medzi-dôsledkov“. No a ak sa vrátime späť k nášmu božskému „x“, tak môžem povedať, že ak platí (NE[x] ˄ G Ess x) → □ (∃y)G[y], čiže že „x“ má nevyhnutnú existenciu zo svojej podstaty a že jeho podstatou je jeho božskosť, že ak tieto dva fakty platia, tak nevyhnutne musí jestvovať božské súcno. Tie dva fakty môžem v duchu tých príkladov s pohárom pokojne zameniť za príčinu, ktorou je to, že „x“ je božské. Takže mi vyjde formula G[x] → □ (∃y)G[y]. To znamená, že ak je „x“ božské, tak v duchu definície číslo 3 a v duchu možnosti obmeny dôsledkov za jednotnú príčinu (podobne ako s tým pohárom), tak musí nevyhnutne jestvovať aspoň jedno súcno, ktoré má božskú vlastnosť. Čiže podľa pravidiel modálnej logiky platí, že ak je možné božské „x“, tak je možná aj nevyhnutnosť existencie takéhoto božského súcna. A je možné božské „x“? Veru áno, pretože predsa vo vete číslo 1 sme si povedali, že ak je nejaká vlastnosť „alfa“ dobrá, tak súcno s takouto vlastnosťou je možné. A je božskosť dobrou vlastnosťou? Je. Preto božské „x“ je možné. A ak je možné božské „x“, tak je možná teda aj nevyhnutnosť existencie božského súcna. Nevyhnutná existencia Boha je možná. Dokázali sme vetu číslo 3, ktorá bola rozhodujúca a kľúčová k celému Gödelovmu argumentu.
----
VETA Č. 4 RESP. ZÁVER

Záver je od začiatku veľmi očakávaný a všetci čakáme, že má znieť, že Boh nevyhnutne existuje – čiže □ (∃x)G[x]. To je však opäť len veta, ktorá nie je sama sebou zrejmá, preto ju treba dokázať, resp. treba poukázať, akými cestami vyplýva z vety číslo 3.

Je to vlastne už teraz jednoduché. Ak by sme si mali ozrejmiť ešte raz vetu číslo 3, tak tá tvrdí: „Nevyhnutná existencia Boha je možná.“ Alebo presnejšie: „Ak je možné, že existuje aspoň jedno božské „x“, tak je možná nevyhnutnosť existencie božského súcna.“ A práve na túto implikáciu Gödel aplikoval logický zákon transpozície, ktorý znie: (p → q) ↔ (┐q → ┐p). Preveďme to, ako obvykle, do ľudskej reči: Naša implikácia („ak..., tak...“), ktorú som naposledy vyznačil hrubo, bude znieť po aplikácii zákona transpozície takto (a pritom to bude stále ten istý výrok!):

„Ak nie je možná nevyhnutnosť Božej existencie, tak nie je možné ani božské súcno „x“.“ Následne majster znegoval všetky modulátory (teda □ „je nevyhnutné“ zmenil na ◊ „je možné“, a taktiež naopak) a všetky negácie. To tiež môže, a pritom sa podľa logiky bude tvrdiť stále to isté tvrdenie. Vyjde nám teda: „Ak je nevyhnutná možnosť nutnosti Božej existencie, tak je nevyhnutné božské súcno „x“.“ To znamená: BOH NEVYHNUTNE EXISTUJE. Bingo! :-)) Tá posledná implikácia („ak..., tak...“) je nevyhnutne pravdivá, lebo je logicky odvodzovaná podľa zákonov logiky modálnej, ako i podľa logického pravidla transpozície. Je to len inak vyjadrená veta číslo 3. A tú sme predsa dokázali. Takže potom platí aj tá naša posledná implikácia. Gödel podal elegantný, axiomaticko-deduktívny dôkaz Božej existencie. :-)
----
ZÁVER ČLÁNKU

Toto je najdlhší blogový článok, aký som kedy napísal. Ospravedlňujem sa za to a blahoželám všetkým, ktorí mali tú trpezlivosť a dokázali to prečítať celé až do tohto konca. Ak som to ale chcel vyložiť „po lopate“, tak som naozaj musel siahnuť po obsiahlejšom verbálnom výklade. Dúfam, že mi to odpustíte a že sa Vám ten dôkaz podarilo pochopiť. Je krásny a elegantný, aj keď i on má svoje „muchy“, ktoré možno v inom článku predstavím. Zatiaľ ďakujem za prečítanie – dúfam, že Vás to ohrialo na intelektuálnom duchu. :-)
----

PS: Inšpiráciu k pochopeniu tohto dôkazu mi doprial článok od docenta Pavla Zlatoša (ZLATOŠ, P.: Gödelov ontologický dôkaz existencie Boha. In: Kol. autorov: Filozofia a kognitívne vedy. Bratislava : IRIS, 2002, s. 206-210. ISBN 80-89018-39-4)
----